中線共役線（類似中線）

［ 定義 ］
中線の等角共役線を中線共役線（類似中線）という。

［定理1］
中線共役線上の点から、底辺でない2辺へ下ろした垂線の長さの比は、その辺自身の長さの比に等しい。
逆に、点Pから2辺へ下ろした垂線の長さの比が、その辺自身の長さの比に等しければ、Pは中線共役線上の点である。



［証明］
中線をAM, 中線共役線をAM’とし、
中線共役線上の点PからAB, ACへ下ろした垂線の足をD, E,
MからAB, ACへ下ろした垂線の足をD’, E’とする。

AM, AM’は等角共役線よりPD：PE＝ME’：MD’…(1)
また、△ABM＝△ACMより、高さの比は底辺比の逆比になるから MD’：ME’＝AC：AB …(2)
(1), (2) より PD：PE ＝AB：AC

［逆の証明］
△ABM＝△ACMより MD’：ME’＝AC：AB
よって PD：PE＝AB：AC ならば PD：PE＝ME’：MD’ となり、APは中線の等角共役線になる。

［定理2］
∠Aの中線共役線とBCの交点をDとすると、BD：DC＝AB²：AC²



［証明］
DからAB, ACに下ろした垂線の足をH, H’とする。

［定理3］
中線共役線は底辺に逆平行な線分を二等分する。



［証明］
中線をAM, 中線共役線をAM’, BCに逆平行な線分をDE, AM’とDEの交点をPとする。

BCとDEは逆平行だから、∠ADE＝∠ACB, ∠A共通より △ADE∽△ACB
よってAD：AC＝DE：CB …(1)

また、AM, AM’は等角共役線だから、∠DAP＝∠CAM.　よって△ADP∽△ACM
よってAD：AC＝DP：CM …(2)

(1),(2)より
DE：CB＝DP：CM ⇔ DE：DP＝CB：CM＝2：1

ゆえに、PはDEの中点。

［定理4］
△ABCの外接円に対し、B,Cにおいて引いた2本の接線の交点をPとすると、APは∠Aの中線共役線となる。

　　
［証明］
接弦定理より∠PBC＝∠BAC, ∠PCB＝∠BAC
よって、△PBCは二等辺三角形なのでPB＝PC …(1)

ABの延長線上に∠ADP＝∠PBDとなる点Dをとれば、
△PBDは二等辺三角形なのでPB＝PD …(2)
ここで、∠PDB＝∠PBD＝180ﾟ−(∠ABC＋∠PBC)＝180ﾟ−(∠ABC＋∠BAC)＝∠ACB

直線DPとACの延長線との交点をEとすると、
∠PCE＝180ﾟ−(∠ACB＋∠PCB)＝180ﾟ−(∠ACB＋∠BAC)＝∠ABC
∠PEC＝180ﾟ−(∠DAE＋∠ADE)＝180ﾟ−(∠BAC＋∠ACB)＝∠ABC
よって、△PCEは二等辺三角形なのでPC＝PE …(3)

(1), (2), (3) より PはDEの中点。
またBCとDEは逆平行だから定理3よりAPは∠Aの中線共役線となる。