垂足円

［ 定義 ］
点Pの垂足三角形の外接円を点Pの垂足円という。

［定理1］
PとQが等角共役点であるとき、Pの垂足円とQの垂足円は一致する。
また、その垂足円の中心はPQの中点Mである。



［証明］
△APF∽△AQE'よりAP：AQ＝AF：AE' …(1)
△APE∽△AQF'よりAP：AQ＝AE：AF' …(2)

(1), (2) より AF：AE'＝AE：AF'⇔ AE×AE'＝AF×AF'
よって E, E', F, F'は同一円周上にある。

この円の中心は、EE', FF'の垂直二等分線の交点であり、
EE'の垂直二等分線は、EE'の中点を通りEP, E'Qに平行であるからPQの中点Mを通り、
FF'の垂直二等分線は、FF'の中点を通りFP, F'Qに平行であるからPQの中点Mを通る。

よって、この円の中心はPQの中点Mで ME＝ME'＝MF＝MF' …(3)

同様に、
D, D', E, E'も同一円周上にあり、この円の中心もPQの中点Mであることが示され、
ME＝ME'＝MD＝MD' …(4)

(3), (4) より D, D', E, E', F, F'はMを中心とする円周上にある。