垂足円


[ 定義 ]
点Pの垂足三角形の外接円を点Pの垂足円という。



[定理1]
PとQが等角共役点であるとき、Pの垂足円とQの垂足円は一致する。
また、その垂足円の中心はPQの中点Mである。



[証明]
△APF∽△AQE
'よりAP:AQ=AF:AE' …(1)
△APE∽△AQF
'よりAP:AQ=AE:AF' …(2)

(1), (2) より AF:AE
'=AE:AF'⇔ AE×AE'=AF×AF'
よって E, E
', F, F'は同一円周上にある。

この円の中心は、EE
', FF'の垂直二等分線の交点であり、
EE
'の垂直二等分線は、EE'の中点を通りEP, E'Qに平行であるからPQの中点Mを通り、
FF
'の垂直二等分線は、FF'の中点を通りFP, F'Qに平行であるからPQの中点Mを通る。

よって、この円の中心はPQの中点Mで ME=ME
'=MF=MF' …(3)

同様に、
D, D
', E, E'も同一円周上にあり、この円の中心もPQの中点Mであることが示され、
ME=ME
'=MD=MD' …(4)

(3), (4) より D, D
', E, E', F, F'はMを中心とする円周上にある。