垂足三角形

［定義］（狭義）
△ABCにおいて、A, B, Cから対辺に下ろした垂線の足をD, E, Fとするとき、△DEFを△ABCの垂足三角形（orthic triangle）という。

　

［定義］（広義）
△ABCにおいて、点PからBC, CA, ABに下ろした垂線の足をD, E, Fとするとき、△DEFを点Pの垂足三角形（pedal triangle）という。
点Pが垂心のときが狭義の垂足三角形に当たる。

　

［定理１］
鋭角三角形の垂心は、垂足三角形の内心と一致し、
鈍角三角形の垂心は、垂足三角形の傍心と一致する。

（鋭角三角形の場合）
　

［証明］
△ABCの垂足三角形を△DEF, 垂心をHとする。

△ABD∽△CBFより∠BAD＝∠BCF …(1)
□AFHEは円に内接するから、∠BAD＝∠HEF …(2)
□HDCEは円に内接するから、∠BCF＝∠HED …(3)

(1), (2), (3) より∠HEF＝∠HED

同様に、∠HFE＝∠HFD, ∠HDF＝∠HDE であることが示されるから、
△ABCの垂心Hは△DEFの内心と一致する。

（鈍角三角形の場合）

　

［証明］
△ABCの垂足三角形を△DEF, 垂心をHとする。

△ABDは∠ADB＝90°の直角三角形より∠BAD ＜90°
△ABEは∠AEB＝90°の直角三角形より∠ABE ＜90°
△BHDは∠BDH＝90°の直角三角形より∠BHD ＜90°

よって△ABHは鋭角三角形で、△DEFはその垂足三角形になっているから、
FC, EC, DCはそれぞれ∠EFD, ∠FED, ∠FDEの内角の二等分線で、
また、EC⊥EH, DC⊥DHよりEH, DHはそれぞれ∠FED, ∠FDEの外角の二等分線であるから、Hは△DEFの傍心となる。

［定理２］
鋭角三角形に内接する三角形のうち、周の長さが最小になるものは垂足三角形である。

　

［証明１］
BC上に点Dを固定し、ABに関してDと対称な点をP, ACに関して対称な点をQとすると、
DF＋FE＋ED＝PF＋FE＋EQ よりP, F, E, Qが一直線になるとき△DEFの周は最小になる。

次に、点DがBC上を動くとき△DEFの周（＝PQ）を最小にするには、
∠PAQ＝2∠BAC（一定）, AP＝AQ＝ADより、ADを最小にすればよく、それはAD⊥BCとなるときである。

同様に、E, FについてもBE⊥CA, CF⊥ABとなるとき△DEFの周の長さを最小にするから、
△ABCの垂足三角形が求める三角形となる。


［証明２］（シュワルツによる証明）

　


図のように、△ABCをBC→CA'→A'B'→B'C'→C'A''の順に5回折り返す。

ABの回転角を順に全て加えると、時計回りを正として＋2β＋2α＋0−2β−2α＝0 より、AB // A''B'' となる。
また、△ABCの垂足三角形を△DEFとすると、F, D, E', F'', D'', E''', F'''' は一直線上に並び、FF''''＝（△DEFの周）×2 …(1)

一方、△ABCに内接する三角形のうち、△DEF以外のものを△PQRとすると、
FRとF''''R'''' は平行でその長さが等しいから□RR''''F''''Fは平行四辺形であり、RR''''＝FF'''' …(2)

RR''''＜RP＋PQ'＋Q'R''＋R''P''＋P''Q'''＋Q'''R''''＝（△PQRの周）×2 であるから、(1), (2) より△DEFの周 ＜△PQRの周となる。


［補足］
直角三角形、鈍角三角形の場合は、内接三角形の周の長さの最小値は存在しない。

［定理３］
鋭角三角形△ABCの面積をS, 外接円の半径をRとすると、




［証明］

また補題1よりAH＝2OM＝2RcosA
∴EF＝2R sinA cosA＝R sin2A

垂足三角形の周の長さは、
EF＋FD＋DE＝R(sin2A＋sin2B＋sin2C)＝4R sinA sinB sinC (∵補題2より)

［補題１］
△ABCの垂心をH, 外心をO, BCの中点をMとすると、AH＝2OM

　

［証明］
AからBCに下ろした垂線の足をD, CからABに下ろした垂線の足をE, BOの延長線と外接円の交点をFとする。

BFは直径よりFC⊥BC, FA⊥AB　 よって、AH // FC, CH // FA
よって□AHCFは平行四辺形なので、AH＝FC

△BOM∽△BFCで相似比が1：2よりFC＝2OM
ゆえに、AH＝2OM

［補題２］
△ABCにおいて、sin2A＋sin2B＋sin2C＝4 sinA sinB sinC

［証明］
sin2A＋sin2B＝2 sin(A＋B) cos(A−B)＝2 sinC cos(A−B)
sin2C＝2 sinC cosC＝−2 sinC cos(A＋B)

よって、
(左辺)＝2 sinC{cos(A−B)−cos(A＋B)}＝2 sinC・2 sinA sinB＝4 sinA sinB sinC