垂軸（垂足軸）

［定義］
△ABC とその垂足三角形△DEF の対応辺の延長線の交点３つは同一直線上にある。
この直線を△ABC の垂軸（垂足軸）という。





［証明］
垂線AD, BE, CFは１点（垂心）で交わるから、
デザルグの定理より、
BCとEFの延長線の交点P
CAとDFの延長線の交点Q
ABとDEの延長線の交点R
は同一直線上にある。

［定理１］
垂軸とオイラー線は直交する。




［証明］
△ABCの外接円に関する点PのべきをSとすれば、S＝PB×PC
△ABCの ９点円に関する点PのべきをTとすれば、T＝PF×PE
４点B, C, E, Fを通る円に関する点PのべきをUとすれば、U＝PB×PC＝PF×PE
∴ S＝T

よって、Pは△ABCの外接円と９点円に関するべきが等しいから、この２円の根軸Λ 上の点である。

同様に、
Q, RもΛ 上の点であるから、Λ は垂軸と一致する。

また、根軸Λ は外心Oと９点円の中心Nを結ぶ直線（＝オイラー線）に垂直であるから、垂軸とオイラー線は直交する。