等角共役点

( 定義 )
△ABCと任意の点Pに対し、AP, BP, CP の等角共役線は1点Qで交わる。
PとQを互いに等角共役点という。

　

( 定理1 )
△ABCの各辺に関する点Pの対称点をP', P'', P'''とするとき、△P'P''P'''の外心はPの等角共役点Qである。





[ 証明 ]
PからBC, CA, ABに下ろした垂線の足をD, E, Fとし、PQの中点をMとする。

Pは△DEFと△P'P''P'''の相似の中心で相似比は1：2である。
また、Pの垂足円の中心はMであるから、△P'P''P'''の外心をRとすれば、PM：PR＝1：2より、RはQと一致する。

( 定理2 )
等角共役点P, P'と外心が一直線上にあるならば、Pの垂足円は9点円に接する。



[ 証明 ]
外心をO, 外接円の直径OPP'の両端をX, Y
X, YからBCへ下ろした垂線の足をX', Y'
P, P'からBCへ下ろした垂線の足をD, D'
BCの中点をA', 外接円の半径をRとすると、

A'D：A'X'＝OP：R
A'D'：A'X'＝OP'：R

辺々乗じて
(A'D×A'D')：A'X'²＝(OP×OP')：R²

直径の両端におけるシムソン線は直交し9点円上の点で交わるから、その交点をLとすると、
LはX'Y'を直径とする円周上にあり、A'X'＝A'Y'よりA'は円の中心でA'X'＝A'L
よって (A'D×A'D')：A'L²＝(OP×OP')：R²

同様に、AC, ABの中点をB', C'
PからAC, ABへ下ろした垂線の足をE, F
P'からAC, ABへ下ろした垂線の足をE', F'とすると、

(B'E×B'E')：B'L²＝(OP×OP')：R²
(C'F×C'F')：C'L²＝(OP×OP')：R²

よって、
(A'D×A'D')：A'L²＝(B'E×B'E')：B'L²＝(C'F×C'F')：C'L²＝(OP×OP')：R²　…(1)

2円に関するべきの比が等しい点の軌跡は、2円と共軸な定円であるから、
(1)式は、9点円がPの垂足円、点円Lと共軸であることを示している。

Lは9点円上の点であるから、共軸円束の根軸はLにおける9点円の接線である。
よって、9点円とPの垂足円はLにおいてに接する。

( 定理3 )
P, Qを等角共役点とすると、Qの三線座標は、Pの三線座標の逆数で表される。

[ 証明 ]

( 資料 )
主な等角共役点の組み合わせ。