等角共役線

［ 定義 ］
角の頂点を通る直線ℓ と、角の二等分線に関してℓ と対称な直線ℓ' は互いに等角共役線であるという。

［定理1］
等角共役線上の点P, Qから2辺へ下ろした垂線の足をそれぞれD, E, D’,E’とすると、PD：PE＝QE’：QD’が成り立つ。
逆に、点P, Qから2辺へ下ろした垂線の長さが逆比になればP, Qは互いに等角共役線上の点である。




［証明］
□ADPEは円に内接するから∠DPE＝180°－∠A …(1), ∠PED＝∠PAD …(2)
□AD’QE’は円に内接するから∠D’QE’＝180°－∠A …(1)’, ∠QD’E’＝∠QAE’ …(2)’

(1), (1)’より∠DPE＝∠D’QE’
またAP, AQは等角共役線より∠PAD＝∠QAE’　これと(2), (2)’より∠PED ＝∠QD’E’
よって、△PDE∽△QE’D’より PD：PE＝QE’：QD’

［逆の証明］
□ADPEは円に内接するから∠DPE＝180°－∠A …(1), ∠PED＝∠PAD …(2)
□AD’QE’は円に内接するから∠D’QE’＝180°－∠A …(1)’, ∠QD’E’＝∠QAE’ …(2)’

(1), (1)’より∠DPE＝∠D’QE’だから、PD：PE＝QE’：QD’ならば△PDE∽△QE’D’
よって∠PED＝∠QD’E’　これと(2), (2)’より∠PAD＝∠QAE’

よって、AP, AQは等角共役線

［定理2］
点Pから2辺へ下ろした垂線の足D, Eを結ぶ直線は、APの等角共役線ℓ' と直交する。



［証明］
ℓ' とDE, PEとの交点をそれぞれR, Sとすると、∠RES＝∠EAS, ∠ASE共通より△ASE∽△ESR
よって、∠SRE＝∠SEA＝90°

［定理3］
等角共役線上の点P,Qから2辺へ下ろした垂線の足D, E, D’, E’は同一円周上にあり、その円の中心はPQの中点Mである。



［証明］
∠DD’E’＝∠DD’Q－∠QD’E’＝90°－∠PED＝∠AED
よって、D, E, D’, E’は同一円周上にある。

この円の中心は、DD’, EE’の垂直二等分線の交点であり、
DD’の垂直二等分線は、DD’の中点を通りDP, D’Qに平行であるからPQの中点Mを通り、
EE’の垂直二等分線は、EE’の中点を通りEP, E’Qに平行であるからPQの中点Mを通る。

よって、この円の中心はPQの中点Mである。

［定理4］
三角形の各頂点を通る直線が1点Pで交わるならば、それらの等角共役線もまた1点Qで交わる。
PとQを互いに等角共役点という。

　

［証明］
AP, BPの等角共役線の交点をQとするとき、CP, CQが等角共役線になることを示せばよい。

　

PからAB, AC, BCに下ろした垂線の足をD, E, Fとし、
QからAB, AC, BCに下ろした垂線の足をD’, E’, F’とすると、



ゆえに、定理1よりCP, CQは等角共役線になるので、AP, BP, CPの等角共役線は1点Qで交わる。