逆平行


［ 定義 ］
△ABCの辺AB, AC上の点D, Eに対し、四角形DBCEが円に内接するとき、DEとBCは逆平行であるという。

　

［定理1］
三角形の各辺は、その垂足三角形の各辺と逆平行である。



［証明］
AからBCに下ろした垂線の足をD,
BからCAに下ろした垂線の足をE,
CからABに下ろした垂線の足をF, 垂心をHとする。

□HDBFは円に内接するから∠ABC＝∠AHF …(1)
□AFHEは円に内接するから∠AHF＝∠AEF …(2)
(1), (2) より∠ABC＝∠AEF

よって、BCとEFは逆平行。
同様に、CAとFD, ABとDEも逆平行となる。

［定理2］
三角形の底辺に逆平行な直線は、頂点と外心を結ぶ直線と直交する。

　

［証明］
外心をO, AOとDEの交点をP, AOと外接円の交点をQとする。

BC, DEは逆平行より∠ADE＝∠ACB …(1)
円周角の定理より∠BAQ＝∠BCQ …(2)

(1), (2) より∠APE＝∠ADE＋∠BAQ＝∠ACB＋∠BCQ＝90°
よって、DE⊥AO