Spieker(シュピーカー)中心

( 定義 )
△ABCの中点三角形の内接円をシュピーカー円といい、シュピーカー円の中心をシュピーカー中心という。

( 定理1 )
シュピーカー中心の三線座標は( bc(b＋c), ca(c＋a), ab(a＋b) ) で表される。



[ 証明 ]
BC, CA, ABの中点をA', B', C'
SpからBC, CA, ABに下ろした垂線の足をD, E, F
SpからB'C', C'A', A'B'に下ろした垂線の足をD', E', F'とすると、
BC // B'C', CA // C'A', AB // A'B'であるから (D, D', Sp), (E, E', Sp), (F, F', Sp) はそれぞれ一直線上に並ぶ。

( 定理2 )
シュピーカー中心は、内心とナーゲル点の中点である。


[ 証明 ]
ナーゲル点のページ参照

( 定理3 )
垂心, シュピーカー中心, ミッテンプンクトは同一直線上にある。

[ 証明 ]
垂心, シュピーカー中心, ミッテンプンクトの三線座標はそれぞれ
H( secA, secB, secC ), Sp( bc(b＋c), ca(c＋a), ab(a＋b) ), M( b＋c−a, c＋a−b, a＋b−c )
であるから、



よって、これら3 点は同一直線上にある。