Nagel(ナーゲル)


( 定義 )
△ABCの3つの傍接円とBC, CA, ABとの接点をD, E, Fとすると、AD, BE, CFは1点で交わる。
この点を△ABCの
ナーゲル点という。

 

[ 証明 ]
BD=AE, CD=AF, CE=BF より

よって、チェバの定理の逆よりAD, BE, CF は1点で交わる。


( 定理1 )


[ 証明 ]



( 定理2 )
内心, 重心, ナーゲル点は同一直線上にあり、IG:GNa=1:2である。
また、内心とナーゲル点の中点はシュピーカー中心である。


 


[ 証明 ]



( 定理3 )
△ABCの内心は、中点三角形のナーゲル点と一致する。


 


[ 証明 ]
BC, CA, ABの中点をA', B', C'とし、△A'B'C'の内心をI', 重心をG', ナーゲル点をNa'とする。
△ABCのシューピーカー中心は△A'B' C'の内心なので(定義), Sp=I',
△ABCの重心と△A
'B'C'の重心は一致するのでG=G',
また、定理2 より SpG:GI=1:2 ⇔I
'G':G'I=1:2  ゆえに、I=Na'となる。