△ABCの3つの傍接円とBC, CA, ABとの接点をD, E, Fとすると、AD, BE, CFは1点で交わる。
この点を△ABCのナーゲル点という。
[ 証明 ]
BD＝AE, CD＝AF, CE＝BF より
よって、チェバの定理の逆よりAD, BE, CF は1点で交わる。
( 定義 )
△ABCの3つの傍接円とBC, CA, ABとの接点をD, E, Fとすると、AD, BE, CFは1点で交わる。
この点を△ABCのナーゲル点という。
[ 証明 ]
BD＝AE, CD＝AF, CE＝BF より
よって、チェバの定理の逆よりAD, BE, CF は1点で交わる。
( 定理1 )
[ 証明 ]
( 定理2 )
内心, 重心, ナーゲル点は同一直線上にあり、IG：GNa＝1：2である。
また、内心とナーゲル点の中点はシュピーカー中心である。
[ 証明 ]
( 定理3 )
△ABCの内心は、中点三角形のナーゲル点と一致する。
[ 証明 ]
BC, CA, ABの中点をA', B', C'とし、△A'B'C'の内心をI', 重心をG', ナーゲル点をNa'とする。
△ABCのシューピーカー中心は△A'B' C'の内心なので（定義）, Sp＝I',
△ABCの重心と△A'B'C'の重心は一致するのでG＝G',
また、定理2 より SpG：GI＝1：2 ⇔I'G'：G'I＝1：2 ゆえに、I＝Na'となる。
