Mittenpunkt(ミッテンプンクト)

( 定義 )
△ABCの傍心三角形のルモアーヌ点を、△ABCのミッテンプンクトという。

( 定理1 )
ミッテンプンクトの三線座標は M( b＋c−a, c＋a−b, a＋b−c ) で表される。

[ 証明 ]
△ABCにおいて、BC, CA, ABの中点をA', B', C', 傍心をI_a, I_b, I_cとする。
△ABCは△I_aI_bI_cの垂足三角形であるから、(BC, I_bI_c), (CA, I_cI_a), (AB, I_aI_b)はそれぞれ逆平行である。
よって、I_aA', I_bB', I_cC'は∠I_cI_aI_b, ∠I_aI_bI_c, ∠I_bI_cI_aの中線共役線である。
ゆえに、その交点Mは△I_aI_bI_cのルモアーヌ点、つまり△ABCのミッテンプンクトである。

( 定理2 )
ジェルゴンヌ点, 重心, ミッテンプンクトは同一直線上にあり、GeG：GM＝2：1である。

[ 証明 ]
ジェルゴンヌ点のページ参照

( 定理3 )
ルモアーヌ点, 内心, ミッテンプンクトは同一直線上にある。

[ 証明 ]
ルモアーヌ点のページ参照

( 定理4 )
垂心, シュピーカー中心, ミッテンプンクトは同一直線上にある。

[ 証明 ]
シュピーカー中心のページ参照