Lemoine(ルモアーヌ)点（類似重心）

( 定義 )
重心の等角共役点をルモアーヌ点（類似重心）という。
ルモアーヌ点は普通Kと表記される。

( 定理1 )
三角形の各頂点から対辺へ下ろした垂線の中点と、対辺の中点を結ぶ直線は、ルモアーヌ点で交わる。



[ 証明 ]
△ABCにおいて、ルモアーヌ点をK, BCの中点をM, AからBCへ下ろした垂線の足をD, ADの中点をM’とする。

Kを通りABに逆平行な直線とAC, BCとの交点をP, Q
Kを通りACに逆平行な直線とAB, BCとの交点をP’, Q’とすると、

∠KQQ’＝∠KQ’Q （＝∠BAC）よりKQ＝KQ’ …(1)
中線共役線（CK, BK）は底辺に逆平行な線分を二等分するから、KP＝KQ, KP’＝KQ’ …(2)
(1), (2) より KP＝KQ＝KP’＝KQ’だから□P’QQ’Pは長方形

AMとPP’の交点をRとすると、△ABCにおいて中線は底辺に平行な線分を二等分するからRはPP’の中点。
RからQQ’へ下ろした垂線の足をSとすると、KはRSの中点。
よって、△MADにおいて中線は底辺に平行な線分を二等分するから、中線MM’はRSの中点Kを通る。

同様に、
CAの中点をM₂, BからCAへ下ろした垂線の中点をM₂’
ABの中点をM₃, CからABへ下ろした垂線の中点をM₃’としたとき、M₂M₂’, M₃M₃’もKを通ることが示されるから、
MM’, M₂M₂’, M₃M₃’はKで交わる。

( 定理2 )
△ABCにおいて、任意の点PからBC, CA, ABへ下ろした垂線の長さをそれぞれx, y, zとするとき、
x²＋y²＋z² の値を最小にするのは、点Pがルモアーヌ点のときである。



[ 証明 ]

( 定理3 )
ルモアーヌ点、内心、ミッテンプンクトは同一直線上にある。



[ 証明 ]