［定理１］
ルモアーヌ点を通り、各辺に平行に引いた直線と辺との６つの交点は同一円周上にある。
［証明］
□ATKSは平行四辺形なので、AKはSTを二等分する。
よって類似中線AKがSTを二等分しているから、STはBCに逆平行である。
よって∠ABC＝∠AUR＝∠AST
ゆえに４点R, S, T, Uは同一円周上にある。この円をC1とする。
同様に、
□PQRSも同一円周上にある。この円をC2とする。
一方、∠TUR＝∠TQRより４点Q, R, T, Uは同一円周上にある。
よって、円C1とC2は一致するから、６点P, Q, R, S, T, Uは同一円周上にある。
［定義］
この円を第１ルモアーヌ円という。
［定理２］
第１ルモアーヌ円の中心は、ルモアーヌ点と外心の中点である。
［証明］
頂点と外心を結ぶ直線は、底辺に逆平行な直線と直交するから（証明は「逆平行」のページ参照）
AO⊥ST
STの垂直二等分線はAOと平行で、AK, STは各々の中点で交わるから、
STの垂直二等分線はOKの中点Mを通る。
同様に、
QRの垂直二等分線もMを通るから、第１ルモアーヌ円の中心はMである。
［系］
第１ルモアーヌ円とブロカール円は同心円である。
［定理３］
第１ルモアーヌ円が各辺から切り取る線分の長さは、各辺の長さの３乗に比例する。
［証明］
［定理４］
ルモアーヌ点を通り、各辺に逆平行に引いた直線と辺との６つの交点は、
ルモアーヌ点を中心とする同一円周上にある。
［証明］
RU, QT, PSがそれぞれBC, CA, ABに逆平行であることと、
類似中線が底辺に逆平行な線分を二等分することから、
下図のように、６点P, Q, R, S ,T ,UはK を中心とする同一円周上にある。
［定義］
この円を第２ルモアーヌ円という。
［定理５］
第２ルモアーヌ円が各辺から切り取る線分の長さは、角の余弦に比例する。
［証明］
第２ルモアーヌ円の半径をr とすると、
PQ＝2KPcos∠KPQ＝2rcosA
同様に、
RS＝2rcosB, TU＝2rcosC
よって、
PQ：RS：TU＝cosA：cosB：cosC
