Gergonne(ジェルゴンヌ)点

［定義］
△ABCの内接円と辺BC, CA, ABの接点をD, E, Fとすると、AD, BE, CFは１点で交わる。
この点を△ABCのジェルゴンヌ点という。

　

［証明］
AE＝AF, BD＝BF, CD＝CEより

よって、チェバの定理の逆よりAD, BE, CFは1点で交わる。

［定理１］
ジェルゴンヌ点とナーゲル点は、等距離共役点である。



［証明］
△ABCの各辺と内接円との接点をD, E, F, 傍接円との接点をD', E', F'とすると、
BD'＝CD, CE＝AE', AF＝BF'であるから、ジェルゴンヌ点とナーゲル点は等距離共役点である。

［定理２］
△ABCのジェルゴンヌ点は、△DEF のルモアーヌ点と一致する。



［証明］
BC, CA, ABは△DEFの各頂点における外接円の接線であるから、
AD, BE, CFはそれぞれ∠FDE, ∠DEF, ∠EFDの中線共役線である。
よって、△ABCのジェルゴンヌ点は△DEF のルモアーヌ点と一致する。

［定理３］

［証明］

［定理４］
ジェルゴンヌ点、重心、ミッテンプンクトは同一直線上にあり、GeG：GM＝2：1である。



［証明］