△ABCの各頂点とBrocard点を結ぶ直線が、Brocard円と交わる点をP,Q,Rとするとき、△PQRを第1Brocard三角形という。
頂点と結ぶBrocard点は、第1Brocard点(Ω), 第2Brocard点(Ω')のいずれでもよく、どちらを選んでも第1Brocard三角形が得られる。
一方、Brocard点の代わりに、Lemoine点と△ABCの各頂点を結んだ直線がBrocard円と交わる点をX,Y,Zとするとき、
△XYZを第2Brocard三角形という。
(第1Brocard三角形の性質)
(1)第1Brocard三角形は、△ABCと(逆向きに)相似であり、さらに、第1Brocard三角形の重心と△ABCの重心は一致する。
(2)第1Brocard三角形の各辺の中点から、△ABCの対応する辺へ下ろした垂線(の延長)は、
△ABCの9点円の中心で交わる。
(第2Brocard三角形の性質)
(1)第2Brocard三角形の頂点X,Y,Zは、
△ABCの各頂点の中線共役線が外接円を切り取る弦の中点になっている。
(2)第2Brocard三角形は、
Aを通りBCにBで接する円と、Cを通りABにBで接する円(赤)の交点Y
Bを通りCAにCで接する円と、Aを通りBCにCで接する円(青)の交点Z
Cを通りABにAで接する円と、Bを通りCAにAで接する円(緑)の交点X
を結んで得られる。
