△ABCにおいて、
∠ΩAB＝∠ΩBC＝∠ΩCA（＝ω ）を満たす点Ωを第１ブロカール点（ブロカール正点）といい、
∠Ω'AC＝∠Ω'CB＝∠Ω'BA（＝ω' ）を満たす点Ω' を第２ブロカール点（ブロカール負点）という。
［定義］
△ABCにおいて、
∠ΩAB＝∠ΩBC＝∠ΩCA（＝ω ）を満たす点Ωを第１ブロカール点（ブロカール正点）といい、
∠Ω'AC＝∠Ω'CB＝∠Ω'BA（＝ω' ）を満たす点Ω' を第２ブロカール点（ブロカール負点）という。
［定理１］
△ABCにおいて、次の３つの円は１点で交わる。
２点A, B を通り、BにおいてBCに接する円C1,
２点B, C を通り、CにおいてCAに接する円C2,
２点C, A を通り、AにおいてABに接する円C3
［証明］
円C1と円C2の交点のうちBでない方をPとすると、接弦定理より、
∠PBC＝∠PAB
∠PCA＝∠PBC
よって、∠PAB＝∠PCAであるから、接弦定理の逆よりPは円C3上にある。
ゆえに、３円C1, C2, C3 は１点Pで交わる。
［定理２］
第１ブロカール点Ωは、∠ΩAB＝∠ΩBC＝∠ΩCA を満たす唯一の点である。
［証明］
任意の点Ωが∠ΩAB＝∠ΩBC を満たすならば、接弦定理の逆より、
Ωは、２点A, B を通り、BにおいてBCに接する円の円周上にある。
同様に、
点Ωが∠ΩBC＝∠ΩCA を満たすならば、
Ωは、２点B, C を通り、CにおいてCAに接する円の円周上にある。
よって、この２円の交点、つまり定理１における３円の交点Pが
∠ΩAB＝∠ΩBC＝∠ΩCA を満たす唯一の点Ωとなる。
［系］
第２ブロカール点Ω' は、∠Ω'AC＝∠Ω'CB＝∠Ω'BA を満たす唯一の点である。
［定理３］
第１ブロカール点と第２ブロカール点は等角共役点である。
［証明］
Ωの等角共役点をPとすると、
∠ΩAB＝∠PAC
∠ΩBC＝∠PBA
∠ΩCA＝∠PCB
であるから、∠PAC＝∠PBA＝∠PCB＝ω となる。
よって、PはΩ' と一致する。
［系］
ω＝ω' である。
この等しい角ωをブロカール角という。
［定理４］
［証明］
［定理５］
ω≦30°
［証明］
［定理６］
AΩ, BΩ, CΩの延長線と△ABC の外接円の交点をA', B', C' とすると、
△ABCの第１ブロカール点と△A'B'C' の第２ブロカール点は一致する。
［証明］
円周角の定理より
∠BAB'＝∠BC'B'＝ω
∠CBC'＝∠CA'C'＝ω
∠ACA'＝∠AB'A'＝ω
よって、△ABC の第１ブロカール点と△A'B'C' の第２ブロカール点は一致する。
［系］
補助定理２により△ABC ≡ △A'B'C' となる。
［定理７］
△ABCの外心をOとすれば、ΩO＝Ω'O かつ∠ΩOΩ'＝2ω となる。
［証明］
定理６ の図において、外心をOとすると
△ABC ≡ △A'B'C', ∠AOA'＝2∠ACA'＝2ω より、△ABCはOを中心とする2ω の回転により△A'B'C' と重なるから、
ΩO＝Ω'O かつ∠ΩOΩ'＝2ω となる。
［定理８］
第１ブロカール点と第２ブロカール点の垂足三角形は合同で、かつ△ABC と相似である。
［証明］
□AFΩEは円に内接するから
∠ΩEF＝∠ΩAF＝ω
□CDΩEは円に内接するから
∠ΩED＝∠ΩCD＝∠C−ω
よって、∠DEF＝∠ΩEF＋∠ΩED＝∠C
同様にして∠EFD＝∠A
よって、△DEF∽△ABC
△D'E'F'に関しても同様に
∠D'E'F'＝∠A, ∠E'F'D'＝∠B より △D'E'F'∽△ABC
よって、△DEF∽△D'E'F'
ここで、Ω, Ω' は等角共役点より、△DEF と△D'E'F' は外接円を共有し、
補助定理２より△DEF ≡ △D'E'F'となる。
［定理９］
［証明］
［系］
［補助定理１］
［証明］
［補助定理２］
外接円を共有する２つの相似な三角形は合同である。
［証明］
△ABC∽△A'B'C' とし、共通の外接円の半径をRとすると、
正弦定理より、BC＝2RsinA, B'C'＝2RsinA'
よって、BC＝B'C'。 ゆえに、△ABC ≡ △A'B'C' となる。
